【壓縮機網】在2023年10月刊《準雙作用式壓縮機理論問題研究》一文中，筆者推導了準雙作用式壓縮機的活塞位移公式，介紹了其在壓縮機研究、設計中的應用，并提到了壓縮機動力計算。本文在探討壓縮機動力計算程序之前，先具體談談構成壓縮機活塞力成分之一——慣性力的問題。
1、慣性力概念發展簡史
先簡單談談傳統的手工繪制動力曲線的計算方法。構成列的活塞力由氣體力、慣性力、摩擦力三部分相加之和而形成。列的氣體力圖采用勃勞厄（Brauer）法繪制；列的慣性力圖通常采用托爾（Tolle）法繪制，近似地繪制出一階、二階慣性力之和；列的摩擦力圖是按經驗法繪制，通常的做法是在向軸行程中認為是一不變的正值，而在向蓋行程中則認為是一負的不變的值，在內、外止點時作一斜線修正。它的作用方向始終與活塞運動速度方向相反。這三種方法繪制的各自力圖中，都面臨著橫坐標的轉換，因為活塞式壓縮機是曲柄連桿機構，將主運動的旋轉運動通過連桿轉換成活塞的上、下往復運動。各自的力圖一般先采用“力-位移”坐標系，它們都是周期性的，主曲柄旋轉一周360°時，活塞則經“外止點-內止點-外止點”這樣一個循環。而列的活塞力圖一般采用“力-曲柄轉角”坐標系構成，包括后來的列的切向力圖、列的法向力圖、列的連桿力圖、列的側向力圖，都是采用這樣的坐標系來分析。所以說，對于橫坐標由行程轉化為曲柄旋轉角的問題，教材上都給出了采用勃力克斯（Brix）近似作圖法，并給予了相應證明，這里不作展開論述。這就是傳統的手工作圖方法，而現在則直接采用經推導的公式將三種力圖直接繪制成“力-曲柄轉角”坐標系中。不過有些細節仍是近似的。例如，氣體力經氣閥的作用，在轉折點處沒有考慮現實中的脈動狀態，慣性力圖也僅考慮了一、二階，對其后的三階等沒有考慮，而摩擦力圖是最簡單的簡化過程，并且統計出的機械效率具體值也是一個經驗值。雖然是這樣但這些簡化也是我們動力計算時作出的正確抉擇。
慣性力是什么？歷史上關于慣性力的爭論由來已久，可追溯到三百年前左右。慣性力就是按達朗伯原理，將動力學問題轉化成靜力學問題的一種研究方法。這種力比較特殊，它沒有明確的力的三要素概念，所以有些人認為是虛擬的，它實際上是以“－ma”形式出現。而更多的學者堅持認為它是一種真實的力，不然就無法解釋高速旋轉的機器，例如航空燃氣渦輪葉片根部斷裂現象。這些在壓縮機上也有類似的現象，歸根到底都是實際物體的內力與外力、相對與絕對的問題。
2、壓縮機中慣性力的大小
據作者統計，在各種型式的壓縮機中，構成某一列的活塞運動組件，其該列受到的往復慣性力的幅值占該列所受到的氣體力的幅值百分比，約為7～40%，這是作者不完全的統計。它基于作者目前所了解到的各種國內的壓縮機經作者近似比算的，實際反映了各型的設計者對慣性力的認識作出的設計。請讀者應該注意的是，這里的活塞包括單作用式、雙作用式的，而這里的慣性力的演算方法則是該篇文章所詳細討論的內容。
其中:Imax——列的最大往復慣性力
ms——蓋側往復質量，包括蓋側活塞、環、活塞桿、十字頭體、銷、連桿重心偏向于小頭部分的連桿質量（約占連桿總質量的30～40%）,kg。軸側質量待后面討論
r——曲柄半徑，m
ω——曲柄旋轉角速度，1/s，，n為機器轉速，r/min
λ——曲柄半徑連桿中心距之比，，為連桿中心距長度
其中:δd2——準雙作用式蓋側容積腔部分的排氣時相對壓力損失
Pd2——準雙作用式蓋側容積腔部分的名義的排氣絕對壓力，bar
Fh2——該容積腔所作用的活塞面積，m2，
代表蓋側氣缸直徑
其中:P平——指平衡腔的壓力，bar，它與機器的運動機構利用系數μ有關。一般接一級排壓力腔，它可以減輕高壓缸活塞環工作負荷，避免向低壓級腔泄漏，這里計算B值時不考慮。
Fh氣缸圓環——指下面的大氣缸與上面的小氣缸工作面積差，m2
其中:δs1——準雙作用式軸側容積腔部分的吸氣時相對壓力損失
Ps1——準雙作用式軸側容積腔部分的名義的吸氣絕對壓力，bar
Fh1——該容積腔所作用的活塞面積，m2，
代表軸側氣缸直徑，d代表活塞桿直徑
Pgas——列的最大氣體力，它一般指的是蓋側活塞θ=0而軸側活塞處在θ=π時的狀態
B——慣性力的幅值與氣體力的幅值的百分比，%
3、關于慣性力在準雙作用式壓縮機中表現形式的幾種思考
大家知道，在曲柄連桿機構中，列的往復慣性力I為：
注意，它通常指的是蓋側活塞的慣性力。相信大部分讀者可能都比較迷惑，為什么剛開始作慣性力圖時，在外止點即θ=0時，將作在正力方向時，就能將上式“－”取消？這是因為，在蓋側活塞工作過程中，θ=0°開始后，位移由0漸變正（方向向下），速度也是由0漸變正（方向向下），而加速度則是由正的最大值漸變小（引起的速度還是漸變大），其方向也是向下，加個負號則方向變上，則此時該力的作用使連桿受拉，故手工作圖時作在正力方向上，已考慮了“－”。
同理，θ=180°時，，該值為負，作在“力-曲柄轉角”坐標系下方。
下面以具有圖1形式的準雙作用式壓縮機某一列為算例，詳盡討論對變值的慣性力計算的思考。
已知：活塞組件質量7.8kg（其上小活塞3.2kg，下面大活塞4.6kg）
環0.6kg
活塞桿8.2kg
十字頭10kg
銷1.4kg
連桿小頭4kg
綜上，運動部件總質量32kg，其中蓋側運動部件總質量27.4kg，軸側運動部件總質量28.8kg
曲柄旋轉半徑
角速度
曲柄半徑連桿比
觀點一：僅考慮了蓋側活塞組件的質量
由（7）式得到：
由此得到慣性力的最大值與最小值為11.13，-7.95kN。以該數系同氣體力、摩擦力參與了該列活塞力的演算，忽略了軸側大活塞的影響，可能當時還沒有意識到軸側慣性力如何計算。
觀點二：因為按照動力的傳遞，由連桿小頭帶動十字頭、活塞桿，進而大活塞、小活塞，作上下往復運動，認為：
由此得到慣性力的最大值與最小值為0.41，-0.57kN。其中第二項是這樣演算的：當將內止點選做坐標系的原點，向上為正方向，以軸側活塞開始膨脹點為起始點后，其：
當蓋側與軸側都統一到蓋側的外止點處一套坐標系后，也考慮到初始時各自的正負值后，總的慣性力應是蓋側的慣性力與式（10）的之和（不過后來發現還是不對），大家可能發現蓋側與軸側往復質量中將連桿小頭、十字頭、活塞桿質量計及了兩次，算出的參與計算的質量僅是大、小活塞質量的差值，這不知有沒有道理？不過我們或許都知道，慣性力在機器運轉過程中，不參與做功，不影響最終平均切向力的大小，僅影響活塞力和平均切向力的具體形狀，影響機器曲軸的靜強度計算，并且其幅值相對氣體力來說較小。
觀點三：由觀點二得出推論，
、計入可能有誤，應該是
，所以。
觀點四：不論以蓋側活塞計算慣性力的變化曲線，還是以軸側活塞來計算，其計算結果都是一樣的，即以觀點一中的公式來計算，式中ms=32kg，證明如下：
由此得到慣性力的最大值與最小值為13，-9.29kN。
根據蓋側的位移、速度、加速度圖解，見圖2。
據軸側的位移、速度、加速度圖解，見圖3。它就是按式(8)、(9)、(10)分兩部分疊加而成。
軸側0°時，位移為正（方向向上），速度為正（向上），加速度為正（向上），－ma向下，連桿受壓，作在負值（－1＋λ）處；軸側180°時，位移為正的最大值，速度為0漸變負（向下），加速度為負的最大值（向下），－ma向上，連桿受拉，作在正值（1＋λ）處。
由此可見，形式上具有圖1中的大活塞進行的軸側加速度的變化，其受力分析表明，在統一的一套坐標系中θ=0時，將慣性力的起始點作在正的（1＋λ）為力的系數處，參與的質量是全部的往復運動質量，這正好與普通蓋側慣性力曲線起始點作圖一致。這很好地解決了觀點二和觀點三中十字頭等處質量參與計算兩次的問題，當時也因為這一處質量通過大活塞又給了小活塞感到困惑、十分不解。對于這種準雙作用式或者就是雙作用式活塞，描述的位移公式形式上有兩種，經求導后得出的加速度公式也有兩種，然而形成的慣性力表現形式僅有一種，正好等同于傳統的單作用式的那種，這些都是經過嚴密推導出來的，不是主觀臆測的。科學是十分奇妙的，講究對稱與嚴謹，當你深入下去就會探索到“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”的境界。將軸側加速度圖與蓋側加速度圖相對照，軸側180°開始后再添個負號，就是蓋側的加速度線。
壓縮機教材上指出，實際上制作慣性力曲線時，是直接作在各列氣體力曲線一起的，以便與摩擦力一道疊加成活塞力曲線。根據動力計算程序得出，具有觀點四形成的慣性力曲線與觀點一、二、三相比較，合成后的總活塞力的72組數據中的最大值居最小，雖然各自相差不多。
點評：以上四種觀點層層推進，步步為營，最終得出了觀點四的正確結論。觀點一抓大放小，它與觀點四在各個位置時力的分析都是相差最小的，雖然看起來有些粗糙；觀點二的毛病，從后面來看是沒有考慮到軸側活塞的慣性力對連桿的作用受壓還是受拉，即觀點二式I后是以“－”來連接，同時重復計及十字頭等往復質量，所以不對；觀點三認同兩質量相等是一大進步，若
、取兩項相加就多算了一份；觀點四是正確的結論，它是觀點一、二、三的完美概括。
4、準雙作用活塞組件θ=45°時受力分析
最后以統一坐標系中，θ約45°分析一下活塞的受力，見圖4。
說明一下，Fg1、Fg2、Fg平、Ff1、Ff2、I、N、Fl組成一組平衡力系，圖中每一種力的箭頭標示了該狀態下的方向。用Fp表示活塞力，則其表達式為：
參考文獻
（1）陳永江，容積式壓縮機原理與結構設計，[M]，西安交通大學出版，1985
（2）林梅，孫嗣瑩，活塞式壓縮機原理，[M]，西安交通大學，2006
（3）陸鵬程，張光勝，三星型壓縮機振動問題研究，[J]，安徽工程科技學院學報，2009.1：62-65
（4）侯寶安，關于慣性力的看法，[J]，山東建材學院學報，1987.1
（5）張玉良，上海化學工業專科學校，慣性力辨析，化工裝備技術，1989.10
來源：本站原創
【壓縮機網】在2023年10月刊《準雙作用式壓縮機理論問題研究》一文中，筆者推導了準雙作用式壓縮機的活塞位移公式，介紹了其在壓縮機研究、設計中的應用，并提到了壓縮機動力計算。本文在探討壓縮機動力計算程序之前，先具體談談構成壓縮機活塞力成分之一——慣性力的問題。
1、慣性力概念發展簡史
先簡單談談傳統的手工繪制動力曲線的計算方法。構成列的活塞力由氣體力、慣性力、摩擦力三部分相加之和而形成。列的氣體力圖采用勃勞厄（Brauer）法繪制；列的慣性力圖通常采用托爾（Tolle）法繪制，近似地繪制出一階、二階慣性力之和；列的摩擦力圖是按經驗法繪制，通常的做法是在向軸行程中認為是一不變的正值，而在向蓋行程中則認為是一負的不變的值，在內、外止點時作一斜線修正。它的作用方向始終與活塞運動速度方向相反。這三種方法繪制的各自力圖中，都面臨著橫坐標的轉換，因為活塞式壓縮機是曲柄連桿機構，將主運動的旋轉運動通過連桿轉換成活塞的上、下往復運動。各自的力圖一般先采用“力-位移”坐標系，它們都是周期性的，主曲柄旋轉一周360°時，活塞則經“外止點-內止點-外止點”這樣一個循環。而列的活塞力圖一般采用“力-曲柄轉角”坐標系構成，包括后來的列的切向力圖、列的法向力圖、列的連桿力圖、列的側向力圖，都是采用這樣的坐標系來分析。所以說，對于橫坐標由行程轉化為曲柄旋轉角的問題，教材上都給出了采用勃力克斯（Brix）近似作圖法，并給予了相應證明，這里不作展開論述。這就是傳統的手工作圖方法，而現在則直接采用經推導的公式將三種力圖直接繪制成“力-曲柄轉角”坐標系中。不過有些細節仍是近似的。例如，氣體力經氣閥的作用，在轉折點處沒有考慮現實中的脈動狀態，慣性力圖也僅考慮了一、二階，對其后的三階等沒有考慮，而摩擦力圖是最簡單的簡化過程，并且統計出的機械效率具體值也是一個經驗值。雖然是這樣但這些簡化也是我們動力計算時作出的正確抉擇。
慣性力是什么？歷史上關于慣性力的爭論由來已久，可追溯到三百年前左右。慣性力就是按達朗伯原理，將動力學問題轉化成靜力學問題的一種研究方法。這種力比較特殊，它沒有明確的力的三要素概念，所以有些人認為是虛擬的，它實際上是以“－ma”形式出現。而更多的學者堅持認為它是一種真實的力，不然就無法解釋高速旋轉的機器，例如航空燃氣渦輪葉片根部斷裂現象。這些在壓縮機上也有類似的現象，歸根到底都是實際物體的內力與外力、相對與絕對的問題。
2、壓縮機中慣性力的大小
據作者統計，在各種型式的壓縮機中，構成某一列的活塞運動組件，其該列受到的往復慣性力的幅值占該列所受到的氣體力的幅值百分比，約為7～40%，這是作者不完全的統計。它基于作者目前所了解到的各種國內的壓縮機經作者近似比算的，實際反映了各型的設計者對慣性力的認識作出的設計。請讀者應該注意的是，這里的活塞包括單作用式、雙作用式的，而這里的慣性力的演算方法則是該篇文章所詳細討論的內容。
其中:Imax——列的最大往復慣性力
ms——蓋側往復質量，包括蓋側活塞、環、活塞桿、十字頭體、銷、連桿重心偏向于小頭部分的連桿質量（約占連桿總質量的30～40%）,kg。軸側質量待后面討論
r——曲柄半徑，m
ω——曲柄旋轉角速度，1/s，，n為機器轉速，r/min
λ——曲柄半徑連桿中心距之比，，為連桿中心距長度
其中:δd2——準雙作用式蓋側容積腔部分的排氣時相對壓力損失
Pd2——準雙作用式蓋側容積腔部分的名義的排氣絕對壓力，bar
Fh2——該容積腔所作用的活塞面積，m2，
代表蓋側氣缸直徑
其中:P平——指平衡腔的壓力，bar，它與機器的運動機構利用系數μ有關。一般接一級排壓力腔，它可以減輕高壓缸活塞環工作負荷，避免向低壓級腔泄漏，這里計算B值時不考慮。
Fh氣缸圓環——指下面的大氣缸與上面的小氣缸工作面積差，m2
其中:δs1——準雙作用式軸側容積腔部分的吸氣時相對壓力損失
Ps1——準雙作用式軸側容積腔部分的名義的吸氣絕對壓力，bar
Fh1——該容積腔所作用的活塞面積，m2，
代表軸側氣缸直徑，d代表活塞桿直徑
Pgas——列的最大氣體力，它一般指的是蓋側活塞θ=0而軸側活塞處在θ=π時的狀態
B——慣性力的幅值與氣體力的幅值的百分比，%
3、關于慣性力在準雙作用式壓縮機中表現形式的幾種思考
大家知道，在曲柄連桿機構中，列的往復慣性力I為：
注意，它通常指的是蓋側活塞的慣性力。相信大部分讀者可能都比較迷惑，為什么剛開始作慣性力圖時，在外止點即θ=0時，將作在正力方向時，就能將上式“－”取消？這是因為，在蓋側活塞工作過程中，θ=0°開始后，位移由0漸變正（方向向下），速度也是由0漸變正（方向向下），而加速度則是由正的最大值漸變小（引起的速度還是漸變大），其方向也是向下，加個負號則方向變上，則此時該力的作用使連桿受拉，故手工作圖時作在正力方向上，已考慮了“－”。
同理，θ=180°時，，該值為負，作在“力-曲柄轉角”坐標系下方。
下面以具有圖1形式的準雙作用式壓縮機某一列為算例，詳盡討論對變值的慣性力計算的思考。
已知：活塞組件質量7.8kg（其上小活塞3.2kg，下面大活塞4.6kg）
環0.6kg
活塞桿8.2kg
十字頭10kg
銷1.4kg
連桿小頭4kg
綜上，運動部件總質量32kg，其中蓋側運動部件總質量27.4kg，軸側運動部件總質量28.8kg
曲柄旋轉半徑
角速度
曲柄半徑連桿比
觀點一：僅考慮了蓋側活塞組件的質量
由（7）式得到：
由此得到慣性力的最大值與最小值為11.13，-7.95kN。以該數系同氣體力、摩擦力參與了該列活塞力的演算，忽略了軸側大活塞的影響，可能當時還沒有意識到軸側慣性力如何計算。
觀點二：因為按照動力的傳遞，由連桿小頭帶動十字頭、活塞桿，進而大活塞、小活塞，作上下往復運動，認為：
由此得到慣性力的最大值與最小值為0.41，-0.57kN。其中第二項是這樣演算的：當將內止點選做坐標系的原點，向上為正方向，以軸側活塞開始膨脹點為起始點后，其：
當蓋側與軸側都統一到蓋側的外止點處一套坐標系后，也考慮到初始時各自的正負值后，總的慣性力應是蓋側的慣性力與式（10）的之和（不過后來發現還是不對），大家可能發現蓋側與軸側往復質量中將連桿小頭、十字頭、活塞桿質量計及了兩次，算出的參與計算的質量僅是大、小活塞質量的差值，這不知有沒有道理？不過我們或許都知道，慣性力在機器運轉過程中，不參與做功，不影響最終平均切向力的大小，僅影響活塞力和平均切向力的具體形狀，影響機器曲軸的靜強度計算，并且其幅值相對氣體力來說較小。
觀點三：由觀點二得出推論，、計入可能有誤，應該是，所以。
觀點四：不論以蓋側活塞計算慣性力的變化曲線，還是以軸側活塞來計算，其計算結果都是一樣的，即以觀點一中的公式來計算，式中ms=32kg，證明如下：
由此得到慣性力的最大值與最小值為13，-9.29kN。
根據蓋側的位移、速度、加速度圖解，見圖2。
據軸側的位移、速度、加速度圖解，見圖3。它就是按式(8)、(9)、(10)分兩部分疊加而成。
軸側0°時，位移為正（方向向上），速度為正（向上），加速度為正（向上），－ma向下，連桿受壓，作在負值（－1＋λ）處；軸側180°時，位移為正的最大值，速度為0漸變負（向下），加速度為負的最大值（向下），－ma向上，連桿受拉，作在正值（1＋λ）處。
由此可見，形式上具有圖1中的大活塞進行的軸側加速度的變化，其受力分析表明，在統一的一套坐標系中θ=0時，將慣性力的起始點作在正的（1＋λ）為力的系數處，參與的質量是全部的往復運動質量，這正好與普通蓋側慣性力曲線起始點作圖一致。這很好地解決了觀點二和觀點三中十字頭等處質量參與計算兩次的問題，當時也因為這一處質量通過大活塞又給了小活塞感到困惑、十分不解。對于這種準雙作用式或者就是雙作用式活塞，描述的位移公式形式上有兩種，經求導后得出的加速度公式也有兩種，然而形成的慣性力表現形式僅有一種，正好等同于傳統的單作用式的那種，這些都是經過嚴密推導出來的，不是主觀臆測的。科學是十分奇妙的，講究對稱與嚴謹，當你深入下去就會探索到“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”的境界。將軸側加速度圖與蓋側加速度圖相對照，軸側180°開始后再添個負號，就是蓋側的加速度線。
壓縮機教材上指出，實際上制作慣性力曲線時，是直接作在各列氣體力曲線一起的，以便與摩擦力一道疊加成活塞力曲線。根據動力計算程序得出，具有觀點四形成的慣性力曲線與觀點一、二、三相比較，合成后的總活塞力的72組數據中的最大值居最小，雖然各自相差不多。
點評：以上四種觀點層層推進，步步為營，最終得出了觀點四的正確結論。觀點一抓大放小，它與觀點四在各個位置時力的分析都是相差最小的，雖然看起來有些粗糙；觀點二的毛病，從后面來看是沒有考慮到軸側活塞的慣性力對連桿的作用受壓還是受拉，即觀點二式I后是以“－”來連接，同時重復計及十字頭等往復質量，所以不對；觀點三認同兩質量相等是一大進步，若、取兩項相加就多算了一份；觀點四是正確的結論，它是觀點一、二、三的完美概括。
4、準雙作用活塞組件θ=45°時受力分析
最后以統一坐標系中，θ約45°分析一下活塞的受力，見圖4。
說明一下，Fg1、Fg2、Fg平、Ff1、Ff2、I、N、Fl組成一組平衡力系，圖中每一種力的箭頭標示了該狀態下的方向。用Fp表示活塞力，則其表達式為：
參考文獻
（1）陳永江，容積式壓縮機原理與結構設計，[M]，西安交通大學出版，1985
（2）林梅，孫嗣瑩，活塞式壓縮機原理，[M]，西安交通大學，2006
（3）陸鵬程，張光勝，三星型壓縮機振動問題研究，[J]，安徽工程科技學院學報，2009.1：62-65
（4）侯寶安，關于慣性力的看法，[J]，山東建材學院學報，1987.1
（5）張玉良，上海化學工業專科學校，慣性力辨析，化工裝備技術，1989.10
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